Was es ist, wird Dir nur eine qualifizierte (!) Werkstatt sagen können. Tatsache ist, so wie geschildert, hat die 12V Batterie nicht genügend Leistung: Leerlauf 11,6 und dann bricht sie unter, vermutlich minimaler, Last auf 10,5 ein, das ist nicht gut, garnicht gut.
Aber ob es die Batterie ist oder diese Batterie (die ja Akku heißen müsste) nicht richtig geladen wird - da können wir nur spekulieren.
Was man versuchen kann: Akku (12V) mit externem Ladegerät wirklich aufladen, also ein paar Stunden. Dann die Spannung Leerlauf und Schlüsselbetätigung messen. 2 Stunden warten, wiederholen. Nochmal 2 Stunden warten, wiederholen.
Wenn die Batterie jetzt schon massiv eingebrochen ist, dann ist sie hin. Wenn nicht, könnte es ein Ladeproblem sein